PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea d un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)>0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;

Donde:

p(A½E) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió

p(AÇE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

½AÇE½= número de elementos comunes a los eventos A y E

½E½= número de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

PROBLEMAS:
Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

12 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

13 De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

14 Las dos sean copas.

15Al menos una sea copas.

16 Una sea copa y la otra espada.

17 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

19 Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

20 ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALATORIA DISCRETA

Las variables aleatorias pueden ser discretas y continuas. En el capítulo siguiente trataremos extensamente las variables aleatorias continuas (v. a. c.), pero de momento, con el objeto de visualizar la diferencia entre ellas, podemos decir que las discretas surgen generalmente al contar, mientras que las continuas aparecen cuando se mide.

na variable aleatoria continua teóricamente puede asumir cualquier valor entre dos límites dados, o sea que sus variaciones son infinitesimales, mientras que en las variables aleatorias discretas existen “saltos” o “interrupciones” entre los valores que puede tomar.

De acuerdo a lo anterior podemos decir que:

Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos observado el valor X = a.

Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades:

1. La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores son números reales.

2. Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = a tiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I.

Ejemplo 4. 1. Sea el experimento de lanzar 3 veces una moneda y representemos por X el evento del número de caras que aparecen. Encontrar los valores que puede tomar la variable aleatoria.

Solución.

El espacio muestral de lanzar 3 veces una moneda es:

S = { ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c, +++}

Si solamente nos interesa el número de caras que aparecen, entonces al punto muestral (+++) le corresponde el valor cero porque no hay ninguna cara, a cada punto muestral donde hay una cara (c++, +c+, ++c) le corresponde el valor 1 y así los demás puntos muestrales. Por lo tanto:

X(+++) = 0

(c++) = X(+x+) = X(++c) = 1

X(cc+) = X(c+c) = X(+cc) = 2

X(ccc) = 3

PROBLEMAS:
1.- La probabilidad de que un reloj salga de fábrica defectuoso es del 4 %. Halla:a)
A)El número de relojes defectuosos esperados en un lote de 1000b)
B)La varianza y la desviación típica.

( Solución: 40 y 6,19)
2.- Una determinada raza de perros tiene 4 cachorros en cada camada. Si la p
robabilidadde que un cachorro sea macho es de 0,55, se pide:a)
La probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembrasb)
Probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
(Solución: 0,3675; 0,609 )

3. Un artesano ha elaborado 7 colchas de una etnia indígena 2 de ellas tienen algún defecto. Un turista compra 3 de estas colchas. Sea el número de colchas defectuosas. Hallar la distribución de probabilidad de X:

Datos:

5 buenas

n = 7 2 defectuosas

r = 3

X = Numero de colchas defectuosas

X = 0, 1, 2

función de Probabilidad

X = X_i	0	1	2
P (X_i)	2/7	4/7	1/7

Función de Distribución Acumulada

X	P(X)	F(X)
0	2/7	0 + 2/7 = 2/7
1	4/7	2/7 + 4/7 = 6/7
2	1/7	6/7 + 1/7 = 1

Media

µ = (0)(2/7) + (1)(4/7) + (2)(1/7) = 6/7

Varianza

V(x)= (0 – 6/7)²(2/7) + (1-6/7)² (4/7) + (2-6/7)² (1/7)= 20/49 = 0.40816

Desviación Estándar

σ = 0.40816 = 0.6388

La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X esta dad por:

Función de probabilidad

X = X_i	1	2	3	4	5	6	7	8
P (X_i)	2/28	3/28	4/28	5/28	4/20	3/20	2/20	1/20

Función de Distribución Acumulada

X	P(X)	F(X)
1	2/28	0 + 2/28 = 2/28
2	3/28	2/28 + 3/28 = 5/28
3	4/28	5/28 + 4/28 = 9/28
4	5/28	9/28 + 5/28 = 14/28
5	4/20	14/28 + 4/20 = 14/20
6	3/20	14/20 + 3/20 = 17/20
7	2/20	17/20 + 2/20 = 19/20
8	1/20	19/20 + 1/20 = 1

Media

µ = (1)(2/28) + (2)(3/28) + (3)(4/28) + (4)(5/48) + (5)(4/20) + (6)(3/20) + (7)(2/20) + (8)(1/20) = 129/28

Varianza

V(x)=(1-129/28)²(2/28)+(2-129/28)²(3/28)+(3-129/28)²(4/28)+(4-129/28)²(5/28)+(5-129/28)²(4/20)+

(6-129/28)²(3/20)+(7-129/28)²(2/20)+(8-129/28)²(1/20)= 57/16 = 3.5625

Desviación Estándar

σ = 3.5625 = 1.8

4. Una variable aleatroria discreta X tiene la función de probabilidad f(x) donde

F(x)= k(9-x) si x= 5, 6, 7, 8

0 en otro caso

a) Determine K, b) encuentre la media y la varianza de X

P(X=5) = k (9-5) = 4k

P(X=6) =k(9-6) =3k

P(X=7) =k(9-7) =2k

P(X=8) =k(9-8) =1k

Sabemos que: 10k = 1 entonces tenemos que:

k = 1/10

función de Probabilidad

X	5	6	7	8
P (X)	4/10	3/10	2/10	1/10

Función de Distribución Acumulada

X	P(X)	F(X)
5	4/10	0+4/10 = 4/10
6	3/10	4/10+3/10 =7/10
7	2/10	7/10+2/10 =9/10
8	1/10	9/10+1/10 = 1

0 si X < 5

4/10 si 5 ≤ X ≤ 6

F(X) 7/10 si 6 ≤ X ≤ 7

9/10 si 8 ≤ X ≤ 9

1 si X> 8

Media

µ = (5) (4/10)+ (6) (3/10)+ (7) (2/10)+(8) (1/10) = 6

Varianza

V(x)= (5 – 6)²(4/10) + (6-6)² (3/10) + (7-6)² (2/10)+ (8-6)²(1/10) = 1

5. Sea X la variable aleatoria que representa la demanda semanal de una maquina de premios que esta puesta en un supermercado. La función de probabilidad para Z esta dada por,

F(x)= x²-3x para x= 4, 5, 6, 7

60 si x= 4, 5, 6, 7

Encuentre, a) la distribución acumulada, b) la desviación estándar,

Función de Probabilidad

X	4	5	6	7
P (X_i)	4/60	10/60	18/60	28/60

P(X=4)= (4)²-3/4) = 4/60

P(X=5)= (5)²-3/5) = 10/60

P(X=6)= (6)²-3/6) = 18/60

P(X=7)= (7)²-3/7) = 28/60

Función de Distribución Acumulada

X	P(X)	F(X)
4	4/60	0+4/60 = 4/60
5	10/60	4/60+10/60 = 14/60
6	18/60	14/60+18/60 = 32/60
7	28/60	32/60+28/60 = 1

Media µ = (4) (4/60) + (5) (10/60) + (6) (18/60) (7) (28/60) = 37/60 Varianza

V(x)= (4 - 37/60)²(4/60) + (5 – 37/60)² (10/60) + (6 – 37/60)² (18/60) + (7 – 37/60) (28/60)

V(x)=8.560

Desviacion Estándar σ = (8.560)^1/2 = 2.925

6.- Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.

x	p _i	x · p _i	x²· p_i
2	1/36	2/36	4/36
3	2/36	6/36	18/36
4	3/36	12/36	48/36
5	4 /36	20/3 6	100/36
6	5/36	30/36	180/36
7	6/36	42/36	294/36
8	5/36	40/36	320/36
9	4 /36	36/36	324/36
10	3/36	30/36	300/36
11	2/36	22/36	242/36
12	1/36	12/36	144/36
		7	54.83

7.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

x	p _i	x· p _i
+100		100/6
+ 200		200/6
+ 300		300/6
- 400		-400/6
+ 500		500/6
-600		- 600/6
		100/6

µ =16.667

8.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

9.- Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x	p _i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

10. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

11. Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
-TABULAR
-GRAFICA
-FUNCION DE PROBABILIDAD

Ejemplo de variable aleatoria

Lanzamos un dado perfecto 240 veces, anotamos el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:

Distribución aleatoria discreta
Cara superior	1	2	3	4	5	6
Número de veces	40	39	42	38	42	39

1. Tabla de distribución de frecuencias
La tabla de distribución de frecuencias muestra los resultados obtenidos

2. Tabla de distribución de probabilidad
La tabla de distribución de probabilidad muestra los resultados esperados

3. Gráfica de las distribuciones
Distribución aleatoria discreta

En la gráfica de los valores esperados, observamos que a cada valor de la variables aleatoria xi "cara del dado" le hacemos corresponder su probabilidad teórica. A esta ley se le llama distribución de probabilidad.

CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.
La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:

La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.

En la práctica dada una muestra estadística suficientemente grande el valor de la media muestral de la misma es numéricamente muy cercano a la esperanza matemática de la variable aleatoria medida en esa muestra. Dicho valor esperado, sólo es calculable si se conoce con toda exactitud la distribución de probabilidad, cosa que raramente sucede en la realidad, por esa razón, a efectos prácticos la llamada media se refiere normalmente a la media muestral.

Media muestral

La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores $(X_1,X_2,...,X_n)$ de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:

$\bar{X}_n = T(X_1,X_2,...,X_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$

Desviación estándar

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

Desviación estándar para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación estándar para datos agrupados

PROBLEMAS:

Ejercicios resueltos de la desviación típica

1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

Media

Desviación típica

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

Desviación típica

2.Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses	Niños
9	1
10	4
11	9
12	16
13	11
14	8
15	1

Calcular la desviación típica.

x_i	f_i	N_i	x_i · f_i	x²_i · f_i
9	1	1	9	81
10	4	5	40	400
11	9	14	99	1089
12	16	30	192	2304
13	11	41	143	1859
14	8	49	112	1568
15	1	50	15	225
	50		610	7526

3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Veces	3	8	9	11	20	19	16	13	11	6	4

Calcular la desviación típica.

x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
2	3	6	12
3	8	24	72
4	9	36	144
5	11	55	275
6	20	120	720
7	19	133	931
8	16	128	1024
9	13	117	1053
10	11	110	1100
11	6	66	726
12	4	48	576
	120	843	6633

4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, 30)	[30, 35)
f_i	3	5	7	4	2

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 15)	12.5	3	37.5	468.75
[15, 20)	17.5	5	87.5	1537.3
[20, 25)	22.5	7	157.5	3543.8
[25, 30)	27.5	4	110	3025
[30, 35)	32.5	2	65	2112.5
		21	457.5	10681.25

Media

Desviación típica

5.Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

6.Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura	[170, 175)	[175, 180)	[180, 185)	[185, 190)	[190, 195)	[195, 2.00)
Nº de jugadores	1	3	4	8	5	2

Calcular la desviación típica

	x_i	f_i	F_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[1.70, 1.75)	1.725	1	1	1.725	2.976
[1.75, 1.80)	1.775	3	4	5.325	9.453
[1.80, 1.85)	1.825	4	8	7.3	13.324
[1.85, 1.90)	1.875	8	16	15	28.128
[1.90, 1.95)	1.925	5	21	9.625	18.53
[1.95, 2.00)	1.975	2	23	3.95	7.802
		23		42.925	80.213

Media

Desviación típica

7.Dada la distribución estadística:

	[0, 5)	[5, 10)	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, ∞)
f_i	3	5	7	8	2	6

Calcular la desviación típica.

	x_i	f_i	F_i
[0, 5)	2.5	3	3
[5, 10)	7.5	5	8
[10, 15)	12.5	7	15
[15, 20)	17.5	8	23
[20, 25)	22.5	2	25
[25, ∞)		6	31
		31

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Desviación típica

Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60)	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:

42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35

30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32

54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21

42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27

53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58

56 59 60 40 24

Elabore una tabla de frecuencias.

Calcule la media y la desviación típica.

SOLUCIÓN:

Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:

Edad n

20-29 14

30-39 17

40-49 22

50-59 18

60-69 9

Total 80

Cálculo de la media:

Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado es una media de 43,29. También:

Edad	x_i	n_i	x_in_i
20-29	25	14	350
30-39	35	17	595
40-49	45	22	990
50-59	55	18	990
60-69	65	9	585
Total		80	3510

, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.

Cálculo de la desviación típica:

Edad	x_i	n_i
20-29	25	14	-18,875	356,2656	4987,71875
30-39	35	17	-8,875	78,7656	1339,01563
40-49	45	22	1,125	1,2656	27,84375
50-59	55	18	11,125	123,7656	2227,78125
60-69	65	9	21,125	446,2656	4016,39063
Total		80			12598,75

S_{x =}

La desviación típica es de 12,5 años

Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:

Edad n_ Edad n__

20-29 14 20-29 43

30-39 17 30-39 --

40-49 22 40-49 --

50-59 18 50-59 --

60-69 9 60-69 37

Total 80 Total 80

SOLUCIÓN:

La media y la desviación típica de la primera distribución, ha sido calculada en el primer ejercicio.

Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la segunda distribución.

Cálculo de la media:

Edad	x_i	n_i	x_in_i
20-29	25	43	1075
30-39	35	-
40-49	45	-
50-59	55	-
60-69	65	37	2405
Total		80	3480

Cálculo de la desviación típica:

Edad	x_i	n_i
20-29	25	43	-18,875	356,2656	15319,4219
30-39	35	-	-8,875	78,7656	-
40-49	45	-	1,125	1,2656	-
50-59	55	-	11,125	123,7656	-
60-69	65	37	21,125	446.2656	16511,8281
Total		80			31831,25

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA 634

COMPRENDE, REPRESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRITAS.

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
-TABULAR
-GRAFICA
-FUNCION DE PROBABILIDAD

Ejemplo de variable aleatoria

CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR

Media muestral

Desviación estándar

Desviación estándar para datos agrupados

Desviación estándar para datos agrupados

Ejercicios resueltos de la desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Total 80

Total

Total

Edad n_ Edad n__

Total

Total

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COMPRENDE, REPRESENTA Y APLICA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL Y DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRITAS.

FUNCION DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA -TABULAR -GRAFICA -FUNCION DE PROBABILIDAD

Ejemplo de variable aleatoria

CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR

Media muestral

Desviación estándar

Desviación estándar para datos agrupados

Desviación estándar para datos agrupados

Ejercicios resueltos de la desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Media

Desviación típica

Total 80

Total

Total

Edad n_ Edad n__

Total

Total

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