TERMINOS BASICOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS (operaciones con conjunto)
Unión
Dados dos o más conjuntos, se define la unión de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos.
Conmutativa. A unión B = B unión A
Asociativa. (A unión B) unión C = A unión (B unión C).
Distributiva: A unión (B intersección C) = (A unión B) intersección (A unión C)
Absorción: A unión (A intersección B) = A
Idempotencia: A unión A = A
Elemento neutro: A unión conjunto vacío = A
Dominación: U unión A = U
Inversa: A unión A' = U
Inversa de Morgan: (A unión B) ' = A ' intersección B
Dados dos o más conjuntos, se define la intersección de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos.
Conmutativa. A intersección B = B intersección A,
Asociativa. (A intersección B) intersección C = A intersección (B intersección C).
Distributiva: A intersección (B unión C) = (A intersección B) unión (A intersección C)
Absorción: A intersección (A unión B) = A
Idempotencia: A intersección A = A
Elemento neutro: A intersección conjunto vacío = A
Dominación: conjunto vacío intersección A = U
Inversa: A intersección A' = U
Inversa de Morgan: (A intersección B) ' = A ' unión B '
Diferencia
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c, d, e, f}. La diferencia B - A es {h, j}
Diferencia simétrica
En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d, e, f, h, j}
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.
Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
El cardinal (número de elementos) del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, |A x B| = |A| x |B|
CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
EJEMPLO: Se lanza un dado
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
14. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3 primeros ganan premio de cuantas maneras se puede hacer la premiacion:
P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 maneras
Unión
Dados dos o más conjuntos, se define la unión de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos de todos los conjuntos.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La unión de A y B es {a, b, c, d, e, f, h, j}
La unión tiene las siguientes propiedades:Conmutativa. A unión B = B unión A
Asociativa. (A unión B) unión C = A unión (B unión C).
Distributiva: A unión (B intersección C) = (A unión B) intersección (A unión C)
Absorción: A unión (A intersección B) = A
Idempotencia: A unión A = A
Elemento neutro: A unión conjunto vacío = A
Dominación: U unión A = U
Inversa: A unión A' = U
Inversa de Morgan: (A unión B) ' = A ' intersección B
'
IntersecciónDados dos o más conjuntos, se define la intersección de conjuntos, como el conjunto formado por los elementos que pertenecen a todos los conjuntos.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La intersección de A y B es {a}
La intersección tiene las siguientes propiedades:Conmutativa. A intersección B = B intersección A,
Asociativa. (A intersección B) intersección C = A intersección (B intersección C).
Distributiva: A intersección (B unión C) = (A intersección B) unión (A intersección C)
Absorción: A intersección (A unión B) = A
Idempotencia: A intersección A = A
Elemento neutro: A intersección conjunto vacío = A
Dominación: conjunto vacío intersección A = U
Inversa: A intersección A' = U
Inversa de Morgan: (A intersección B) ' = A ' unión B '
Diferencia
Dados dos conjuntos A y B, su diferencia, A - B, es los elementos de A que no pertenecen a B.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {a, h, j}. La diferencia A - B es {b, c, d, e, f}. La diferencia B - A es {h, j}
Diferencia simétrica
Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A.
En el ejemplo anterior la diferencia simétrica es {b, c, d, e, f, h, j}
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.
Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
El cardinal (número de elementos) del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, |A x B| = |A| x |B|
CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no
pueden ocurrir simultaneamente
.
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del
otro.
a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos
muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.
c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A =
{resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}
d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes
eventos? A = {resultado menor o igual a
4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5}
sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente
excluyentes.
e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.
f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes
eventos? A =
{obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo
lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en
el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.
TECNICAS DE CONTEO
Principio multiplicativo
Si se desea realizar
una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad
a realizar puede ser llevado a cabo
de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras
o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta
actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
El principio multiplicativo
implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto,
uno tras otro.
Ejemplos:
1) Una
persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir
los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de
cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo,
el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados
los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona
de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2=
maneras de construir paredes = 3
N3=
maneras de hacer techos = 2
N4=
maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x
2 x 1 = 12 maneras de construir la casa
El principio
multiplicativo, el aditivo y las técnicas de conteo que posteriormente se
tratarán nos proporcionan todas las maneras o formas posibles de como se puede
llevar a cabo una actividad cualquiera.
PROBLEMAS:
1.-
Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden
formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos no pueden repetirse.
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se
elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:
7x6x5 = 210 números
2.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden
repetirse.
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x7x7 = 343 números
3.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
3x2x1 = 6 maneras diferentes
4.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los
tres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.
Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
4x3x2 = 24 maneras diferentes
5.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.
Solución:
La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x6x5x4 = 840 passwords
6.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras se pueden diseñar con las letras de la palabra memoria.
Solución:
En este problema no se indica la condición de que las letras deben ser distintas, por lo tanto, pueden repetirse y puesto que la palabra memoria tiene siete letras distintas, tendremos:
7x7x7x7 = 2401 passwords
7.- Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y
{1,3,4,5,7,8,9}.
Solución:
Las letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dígitos pueden elegirse de 7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de automóvil.
8.- Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos
1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
Tenemos siete dígitos, de los cuales tres de ellos son menores que seis, los cuales pueden ser elegidos para la posición de las centenas. Así, tenemos tres opciones para las centenas. Habiendo elegido el dígito para las centenas, cualquiera de los seis dígitos
restantes se pueden seleccionar para las decenas y los cinco restantes para las unidades. Por lo tanto, se pueden formar 3x6x5 = 90 números con las condiciones dadas.
9.- Calcular cuántos números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
En este caso los dígitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dígitos 1,2,4 y las demás posiciones por cualquiera de los siete dígitos. Por lo tanto, tendremos 3x7x7 = 147 números
10.- Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.
Solución;
La primera letra puede ser la M o la S, es decir, hay dos maneras; la última letra puede ser la O, la U o la E, o sea, hay tres maneras. Habiendo escogido la primera y la última letra, quedan tres letras para las posiciones intermedias y como no pueden repetirse tendremos 3x2x1 = 6 maneras para seleccionarlas. En total tendremos 2x6x3 = 36 palabras diferentes.
11.- Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos
modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?
3x3x4x2 = 72
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los seis dígitos restantes y finalmente el dígito de las unidades se
elegirá de los cinco últimos dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo , tendremos:
7x6x5 = 210 números
2.- Calcular cuántos números enteros diferentes de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 2,3,4,5,6,7,8 si los dígitos pueden
repetirse.
Solución:
Si es un número de tres dígitos, necesitamos un dígito para las centenas que puede ser cualquiera de los siete dígitos dados, después un dígito para las decenas que puede elegirse entre los siete dígitos y finalmente el dígito de las unidades se elegirá de los siete dígitos. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x7x7 = 343 números
3.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de tres asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los tres lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los dos asientos restantes y el tercer niño se sentará en el único lugar que queda. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
3x2x1 = 6 maneras diferentes
4.- Calcular de cuántas maneras diferentes se pueden sentar tres niños en una banca de cuatro asientos.
Solución:
El primer niño puede sentarse en cualquiera de los cuatro lugares disponibles, el segundo niño puede sentarse en cualquiera de los
tres asientos restantes y el tercer niño se sentará en alguna de los dos lugares que quedan disponibles quedando un lugar vacío.
Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
4x3x2 = 24 maneras diferentes
5.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras distintas se pueden diseñar con las letras de la palabra MEMORIA.
Solución:
La palabra memoria tiene siete letras distintas, de modo que la primera letra del password puede elegirse de siete maneras, la segunda letra de seis maneras, la tercera de cinco maneras y la cuarta letra del password de cuatro maneras. Aplicando el Principio multiplicativo, tendremos:
7x6x5x4 = 840 passwords
6.- Calcular cuántos passwords de cuatro letras se pueden diseñar con las letras de la palabra memoria.
Solución:
En este problema no se indica la condición de que las letras deben ser distintas, por lo tanto, pueden repetirse y puesto que la palabra memoria tiene siete letras distintas, tendremos:
7x7x7x7 = 2401 passwords
7.- Calcular cuántas placas de automóvil se pueden hacer de manera que tengan tres letras seguidas de cuatro dígitos con la condición de que no pueden repetirse las letras ni los dígitos y deben ser seleccionados de los conjuntos {A,B.D.E.M.R} y
{1,3,4,5,7,8,9}.
Solución:
Las letras pueden elegirse de 6x5x4 = 120 maneras y los dígitos pueden elegirse de 7x6x5x4 = 840 maneras Por lo tanto, pueden hacerse 120x840 = 100,800 placas de automóvil.
8.- Calcular cuántos números de tres dígitos distintos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos
1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
Tenemos siete dígitos, de los cuales tres de ellos son menores que seis, los cuales pueden ser elegidos para la posición de las centenas. Así, tenemos tres opciones para las centenas. Habiendo elegido el dígito para las centenas, cualquiera de los seis dígitos
restantes se pueden seleccionar para las decenas y los cinco restantes para las unidades. Por lo tanto, se pueden formar 3x6x5 = 90 números con las condiciones dadas.
9.- Calcular cuántos números de tres dígitos, enteros, positivos y menores de 600 se pueden formar con los dígitos 1,2,4,6,7,8,9.
Solución:
En este caso los dígitos pueden repetirse, de modo que, como en el ejemplo anterior, las centenas pueden ser ocupadas por cualquiera de los dígitos 1,2,4 y las demás posiciones por cualquiera de los siete dígitos. Por lo tanto, tendremos 3x7x7 = 147 números
10.- Calcular cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MOUSE de modo que empiecen con consonante, terminen con vocal y que no se repitan las letras.
Solución;
La primera letra puede ser la M o la S, es decir, hay dos maneras; la última letra puede ser la O, la U o la E, o sea, hay tres maneras. Habiendo escogido la primera y la última letra, quedan tres letras para las posiciones intermedias y como no pueden repetirse tendremos 3x2x1 = 6 maneras para seleccionarlas. En total tendremos 2x6x3 = 36 palabras diferentes.
11.- Un Ingeniero en Sistemas va a ensamblar un servidor para la empresa en la cual trabaja. Tiene a su disposición tres tipos diferentes de procesadores, cuatro modelos de gabinete, memorias RAM de tres capacidades distintas y una tarjeta madre de dos
modelos distintos. ¿Cuántas opciones tiene para ensamblar el servidor?
3x3x4x2 = 72
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?
Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
PERMUTACIONES.
Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación.
Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.
COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación.
PROBLEMAS:
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?
m = 5 n = 5
Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?
Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.
3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?
m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?
La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8
7.
En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas,
dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse
con la colocación de las nueve banderas?
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.
8. ¿De
cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición
distinta que la portería?
Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
9. Una
mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas
distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van
juntos?
Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
No se repiten los elementos.
10. Cuatro
libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos
diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas
distintas es posible ordenarlos si:
1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.
2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.
11. Se
ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si
las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas
posibles pueden ordenarse?
12. Resolver las ecuaciones:
1. 
2. 
- 3.
13. Tienes 5 libros para acomodar en un estante de cuantas formas los puedes acomodar:
P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 120
1b Si solo hay tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los libros
P 5 en 3= 5*4*3= 60
P 5 en 5 = 5*4*3*2*1= 120
1b Si solo hay tres lugares de cuantas formas se pueden acomodar los libros
P 5 en 3= 5*4*3= 60
14. En una carrera corren 8 caballos, si solo los 3 primeros ganan premio de cuantas maneras se puede hacer la premiacion:
P de 8 en 3 = 8*7*6= 336 maneras
COMBINACIONES.
Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.
Como ya se mencionó anteriormente, una combinación, es
un arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupan
los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y
el contenido de los mismos.
La fórmula para determinar el número de combinaciones
es:
nCr = Combinaciones de r
objetos tomados de entre n objetos
Donde se observa que,
La expresión anterior nos explica como las
combinaciones de r objetos
tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las
permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se
debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos,
entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!,
les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de
otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las
combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las
permutaciones requeridas.
nPr
= nCr r!
Y si deseamos r = n
entonces;
nCn
= n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1
¿Qué nos indica lo anterior?
Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.
PROBLEMAS:
1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
No entran todos los elementos.
No importa el orden: Juan, Ana.
No se repiten los elementos.
2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?
No entran todos los elementos. Sólo elije 4..
No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.
Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.
5. ¿Cuántas
apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para
asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?
Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.
No entran todos los elementos.
No importa el orden.
No se repiten los elementos.
Son 
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
, a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.
7. Un
grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5
hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.
2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.
3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.
8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?
9. Resolver las ecuaciones combinatorias:
1. 
2. 
3. 
27 no es solución porque el número de orden en las combinaciones es menor que el número de elementos.
oye en las tecnicas de conteo el problema 5. No deberian de ser 6 letras en lugar de 7 ya que la M se repite y dice el problema que sean distintas
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